Планирование дробного факторного эксперимента

Планирование дробного факторного эксперимента

Эксперимент, в котором реализуются все возможные наборы факторов, называется полным факторным экспериментом. При варьировании всех k факторов на двух уровнях имеем полный факторный эксперимент 2k. В таком эксперименте количество точек факторного пространства, в которых измеряется отклик, N=2k. Наборы факторов, которые реализуются в эксперименте, обычно записываются в виде таблицы или матрицы, которая называется матрицей планирования.

Планирование эксперимента – это определение количества, условий и последовательности проведения опытов, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. В плане эксперимента должны быть указаны количество опытов в каждой точке и последовательность их реализации. Количество параллельных (повторных) опытов n определяется точностью измерения отклика.

В экспериментах с большим количеством факторов число определяемых коэффициентов Nоп может быть значительно меньше опытных точек полного факторного эксперимента N=2k. Отсюда возникает задача построения таких экспериментов, в которых количество опытных точек чуть больше или равно количеству подлежащих определению b-коэффициентов. Этому положению отвечают части полного факторного эксперимента 2k, кратные 2p, где p – целое положительное число факторов, введенных путем замены незначимых взаимодействий. Такие эксперименты называются дробными факторными экспериментами 2k-p.

В дробном факторном эксперименте 23-1 план состоит из четырех опытных точек
N=23-1=22=4. Ядром плана является полный факторный эксперимент 22, на основе которого можно построить уравнения регрессии

(1) \hat{y}=b_{0}x_{0}+b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{12}x_{1}x_{2}

Для определения b-коэффициентов данного линейного уравнения составляется структурная матрица:

структурная матрица

Количество столбцов структурной матрицы равно количеству членов в уравнении регрессии. Величина x0u – столбец фиктивной переменной x0u=1. Столбец 5 (x1u x2u) образован путем перемножения столбцов 3 и 4. Если взаимодействие факторов (X1X2) статически не значимо, то в уравнении (1) нет необходимости определять коэффициент b12 и в структурной матрице столбец 5 окажется лишним. Используем этот столбец для построения плана дробного факторного эксперимента 23-1: в столбец 5 вместо x1u x2u запишем третий фактор x3u, который в процессе эксперимента будет варьировать по закону изменения произведения x1u x2u. Таким путем строем план дробного факторного эксперимента 23-1 в виде матрицы:

матрица-1

Другой план дробного факторного эксперимента 23-1 можно получить, если фактор x3u ввести с помощью того же произведения, взятого с обратным знаком (x3u= – x1u x2u):

матрицы-2

Оба плана позволяют построить линейное уравнение регрессии

f_{i}=b_{0}x_{0}+b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}

которое содержит четыре неизвестных b-коэффициента.

Одной из основных задач в обработке данных многофакторного эксперимента является определение b-коэффициентов модели. Матричное выражение определения b-коэффициентов модели можно записать в следующем виде:

матричное выражение

Из равенства этих матриц следует равенство их элементов и скалярная форма для вычисления b-коэффициентов будет иметь вид:

\bar{y}_{u}=1/N\sum_{u=1}^{N}{x_{iu}y_{u}}

Здесь xiu – кодированные факторы и их взаимодействия; bi – коэффициенты линейных эффектов и соответствующих взаимодействий факторов; \bar{y}_{u}  – построчные средние, вычисляемые по формуле:

\bar{y}_{u}=1/N\sum_{u=1}^{N}{y_{ui}}

где {y_{ui}}  – результаты опытов дробного факторного эксперимента.


Оставить комментарий

  • Список наук

  • Образовательные статьи