Метод ортогональных полиномов

Метод ортогональных полиномов

Одним из способов получения зависимости входной величины от выходной является разложение по ортогональным полиномам. Он является альтернативным методом наименьших квадратов, недостатком которого является:

  1. Если количество точек велико, а порядок полинома мал, то коэффициент нормирования системы уравнения принимает очень большие значения, таким образом, могут возникать вычислительные трудности. Решение таких уравнений возможно только с помощью средств вычислительной техники. Определитель системы уравнений в этом случае получается близок к нулю. Такая система называется плохообуславливаемой.
  2. При вычислении коэффициента полинома, если полином низшей степени не дал удовлетворительного решения задачи, то вычисленный коэффициент ни как не может быть использован для вычисления коэффициентов полиномов высшего порядка.

Для облегчения этих задач был разработан метод ортогональных полиномов.

Рассчитывается зависимость:

y^{*}=\sum_{k=1}^{n}{b_{k}p_{k}(x_{i})}

где pk – ортогональные полиномы (базисная функция); bk – коэффициенты при pk; n – порядок полинома. Если найденный полином  ^{2}y^{*}=\sum_{k=1}^{2}{b_{k}p_{k}(x_{i})}  не дал удовлетворительного решения, то прибавляется некий полином {b_{3}p_{3}(x_{i})}   и получается третий порядок.

Существует большое количество базисных функций: функции Лагранжа; функции Лежандра; функции Чебышева.

Рассмотрим разложение в ортогональный ряд с использованием базисной функции Чебышева Tk(x), где k – порядок функции.

T_{0}(x)=1;

T_{1}(x)=x;

T_{k+a}(x_{i})=xT_{x}(x)-(H_{k}/H_{k-1})T_{k-1}(x_{i}) , где  H_{k}=\sum_{i=1}^{n}{T_{k}^{2}{(x_{i})}}

Очередной полином можно получить, используя текущий полином и предыдущий:

y^{*}=\sum_{k=1}^{n}{b_{k}T_{k}(x_{i})}

b_{k}=1/H_{k}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}T_{k}(x_{i})}

Так как необходимо выполнить условие центрированности, то xi необходимо заменить на x'i и при n четном:

x_{i}^{'}=({(x_{i}-\bar{x})}/d)*2 ,

при n нечетном:

x_{i}^{'}={(x_{i}-\bar{x})}/d

где  d={x_{i+1}-x_{i}}


Оставить комментарий

  • Список наук

  • Образовательные статьи