Квантование по уровню

Квантование по уровню

Операция квантования по уровню (аналого-цифровое преобразование) состоит в том, что непрерывное множество значений, которые может принимать непрерывный сигнал x(t) заменяется множеством уровней квантования {a}_{KB}^{k}, k=1...m.

Связь между спектрами непрерывного (а) и дис-кретного (б) сигналов при верном выборе частоты дискретизации

 

Рисунок 1 – Связь между спектрами непрерывного (а) и дис-кретного (б) сигналов при верном выборе частоты дискретизации

Эффекты наложения в спектре дискретного сигнала при недостаточной частоте дискретизации

Рисунок 2 – Эффекты наложения в спектре дискретного сигнала при недостаточной частоте дискретизации

Такое преобразование выполняет нелинейное устройство с характеристикой, изображенной на рис.3. Диапазон возможных значений сообщения разбивается на m интервалов. При попадании отсчета сигнала в k-й интервал ему присваивается значение {a}_{KB}^{k}. Квантование по уровню может выполняться как совместно с операцией дискретизации по времени, так и отдельно.

Характеристика обобщенного квантователя

Рисунок 3 – Характеристика обобщенного квантователя

Таким образом, квантование по уровню является процессом преобразования сигнала непрерывного по множеству в сигнал с конечным числом значений и непосредственно связано с операцией округления, реализуемой нелинейным элементом. Конкретный способ построения этого элемента определяется принципом построения аналого-цифрового преобразователя, ставящего в соответствие аналоговому сигналу определенное значение цифрового эквивалента.

Различают равномерное и неравномерное квантование. При равномерном квантовании шаг {\Delta X}_{KB}^{k} = {X}_{KB}^{k+1} - {X}_{KB}^{k}  берется постоянным. В то же время, при неравномерном квантовании шаг {\Delta X}_{KB}^{k} является переменным и зависит от номера уровня k . Как будет показано ниже, во многих случаях неравномерное квантование по уровню обеспечивает уменьшение относительной ошибки квантования по уровню.

Кроме того, операция квантования может осуществляться с округлением к ближайшему большему значению, ближайшему меньшему и к середине интервала квантования. Характеристики равномерного квантователя для этих трех случаев изображены на рис.4. а-в.

На выходе устройства цифровой обработки сигналов, как правило, ставится цифро-аналоговый преобразователь, преобразующий последовательность двоичных кодов в аналоговый сигнал. Операции аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразования не являются точно взаимно обратными и приводят к погрешности, называемой шумом квантования. Для случая равномерного квантования и характеристик квантователя рис.4 а, б максимальное абсолютное значение погрешности квантования составляет {\Delta X}_{KB}^{}, для характеристики рис.4 в максимальное значение  погрешности   определяется величиной {\Delta X}_{KB}^{k}/2 . Отметим, что эта характеристика может быть легко получена из первых двух путем добавления к исходному сигналу постоянного смещения, равного соответственно {-\Delta X}_{KB}^{}/2  (рис.4а) и {+\Delta X}_{KB}^{k}  (рис.4 б).

На рис.5 приведён пример квантования по уровню непрерывного аналогового сигнала. Квантованный сигнал xкв(t) получается путём округления x(t) до целых значений. Таким образом {\Delta X}_{KB}^{}=1. Шум квантования  {\varepsilon }_{KB}={x}_{KB}(t)=x(t) распределён в пределах ±0.5, то есть {\Delta X}_{KB}/2.

Погрешность квантования {\varepsilon }_{KB} - величина случайная. Дисперсия погрешности квантования зависит от вида квантования и распределения значений входного сигнала. Для наиболее простого и часто встречающегося случая равномерного квантования и равномерного распределения значений входного сигнала дисперсия составит

{D}_{KB}={({\Delta x}_{KB})}^{2}/12 1.10

Характеристики равномерного квантователя с различными методами округления

Рисунок 4 – Характеристики равномерного квантователя с различными методами округления: а – округление к ближайшему большему, б – округление к ближайшему меньшему, в – округление к середине интервала

Заметим, что при большом числе уровней квантования Dкв(xкв )2/12  при  любом законе распределения мгновенных значений сигнала.

Квантование по уровню аналогового сигнала

Рисунок 5 – Квантование по уровню аналогового сигнала:

а – исходный сигнал;б – квантованный сигнал; в – шум квантования

Из (1.10) очевидно, что погрешность квантования можно уменьшить, уменьшив шаг квантования {\Delta x}_{KB} или при заданном размахе значений сигнала, увеличив число уровней квантования. Увеличение числа уровней влечет за собой увеличение числа двоичных разрядов для кодирования значений отсчетов и, в свою очередь, увеличение аппаратных и временных затрат на аналого-цифровое  преобразование, хранение, передачу и обработку информации. Действительно, если сигнал распределён в диапазоне xmin...xmax, то число уровней квантования составит {N}_{yp}=\frac{{x}_{max}-{x}_{min}}{{\Delta x}_{KB}}, а число двоичных разрядов, необходимых для кодирования сигнала np=] log2Nур [, где ] a [ - обозначение ближайшего целого, большего или равного а.

Для оценки отношения сигнал/шум воспользуемся соотношением

оценка отношения сигнал-шум

где S – отношение сигнал/шум,   Pc – мощность сигнала,

 sш – среднее квадратическое отклонение шума, Dш – дисперсия шума.

Для гармонического сигнала, {P}_{c}=\frac{{A}^{2}}{2} где А – амплитуда сигнала:

Тогда, используя (1.10),

Для гармонического сигнала

Если выразить этот результат в децибелах, получится простая формула, выражающая связь между числом двоичных разрядов и отношением сигнал/шум

связь между числом двоичных разрядов и отношением сигнал-шум

 

Для сигналов, отличных от гармонических, вид соотношения (1.13) несколько изменится. Так, при 16-разрядном квантования вычисленное значение для гармонического сигнала составит 98 дБ, а для звукового сигнала 106..110 дБ. Поэтому на практике применяют другие методы снижения шума квантования.

Так, зачастую применяется неравномерное квантование сигналов, несколько более сложное в реализации. Неравномерное квантование эффективно в случае сигналов с распределением, отличным от равномерного, например, речевых. Для таких сигналов малые значения гораздо более вероятны, чем большие. Поэтому при равномерном квантовании вероятности попадания сигнала в разные интервалы квантования различны. Погрешность квантования в таком случае можно уменьшить, если шаг квантования брать меньшим для более вероятных значений сигнала и большим для менее вероятных. Характеристика такого неравномерного квантователя изображена на рис 6 (показана только положительная ветвь).

Характеристика неравномерного квантователя

Рисунок 6 – Характеристика неравномерного квантователя

Неравномерное квантование можно реализовать различными способами, например, квантователем с соответствующей амплитудной характеристикой (Рис.6) (непосредственное неравномерное квантование). При этом. границы интервалов  и уровни квантования  выбираются в зависимости от распределения мгновенных значений сигналов с целью получения минимальной дисперсии погрешности Dкв. Такой же эффект можно получить путем сжатия (компрессирования) динамического диа-пазона сигнала, применения равномерного квантования и последующего расширения (экспандирования) после цифро-аналогового преобразования (рис. 7). Характеристики компрессора и экспандера должны быть взаимно обратными.

Структурная схема системы компандирования

Рисунок 7 – Структурная схема системы компандирования

Этот метод получил название квантования с компандированием сигнала. Характеристику компрессора выбирают из условий обеспечения минимума  Dкв. Так, в системах цифровой обработки и передачи речевых и звуковых сигналов используются два основных закона компандирования. Логарифмическое компандирование или закон компандирования описывается выражением:

закон компандирования

Чем больше значение \mu, тем выше степень компрессии сигнала (рис.8). На практике часто используется значение \mu-255, при этом качество передачи речи с 7 двоичными разрядами или 128 уровнями на отсчет эквивалентно речи равноквантованной с 11 разрядами (2048 уровнями) на отсчет. Из рис.1.10 следует, что при \mu>1 малые значения сигнала передаются на выход компандера с большим коэффициентом, чем большие, причём степень компрессии тем выше, чем больше \mu.

mu закон компандирования

Рисунок 8 – \mu - закон компандирования

В системах цифровой телефонии с импульсно-кодовой модуляцией и системах цифровой связи используется также А-закон, описываемый выражением (1.15). На практике для речевых сигналов выбирается значение А=87.6. При этом выигрыш от компандирования составляет 24.1дБ.:

А-закон

Другим методом, часто используемым для повышения качества квантованных звуковых и видеосигналов, является так называемая динамическая интерполяция . Этот метод основан на том факте, что шумы в высокочастотной части спектра сигнала менее заметны для наблюдателя, чем в низкочастотной. Сущность метода состоит в добавлении к преобразуемому сигналу псевдослучайного возмущающего сигнала (рис.9)

 

Использование псевдослучайного сигнала для уменьшения погрешности квантования

Рисунок 9 - Использование псевдослучайного сигнала для уменьшения погрешности квантования

Значения псевдослучайного сигнала должны распределяться в диапазоне  \frac{{+-\Delta x}_{KB}}{2} и иметь спектр, расположенный преимущественно выше верхней граничной частоты сигнала. Такой сигнал может успешно генерироваться при помощи сдвиговых регистров с обратными связями. После передачи или обработки цифрового сигнала возмущающий сигнал может вычитаться или подавляться фильтром низких частот.

Действие псевдослучайного сигнала иллюстрируется рис 10 и состоит в том, что в момент перехода от одного уровня квантования к другому происходят кратковременные флуктуации (рис.10в) После сглаживания сигнала фильтром низких частот удается восстановить часть информации, потерянной при грубом квантовании (сравните рис. 10 б и рис 10е).

Квантование сигнала с использованием динамической интерполяции

Рисунок 10 – Квантование сигнала с использованием динамической интерполяции: а – исходный сигнал; б – квантованный сигнал; в – шумовой псевдослучайный сигнал; г – сумма исходного и псевдослучайного сигналов; д - результат квантования сигнала с примесью шума;               е -  восстановленный после фильтрации сигнал

С целью сокращения числа уровней квантования при сохранении отношения сигнал/шум также применяется так называемая дифференциальная импульсно-кодовая модуляция (ДИКМ). ДИКМ использует близость значений соседних отчётов сигналов. Кодирование разностей между поступающими на вход АЦП отсчётами и их предсказанными на основании предшествующих отсчётов значениями требует намного меньше уровней, чем при кодировании непосредственно отсчетов. Как правило, для предсказания значения следующего отсчета используется линейная комбинация нескольких предыдущих

предсказание значения следующего отсчета

Структурная схема одного из вариантов АЦП/ЦАП с ДИКМ приведена на рис 11.

Структурная схема системы с ДИКМ

Рисунок 11 – Структурная схема системы с ДИКМ

Наиболее распространённой разновидностью ДИКМ является дельта-модуляция. В своём простейшем виде она представляет собой ДИКМ систему, в которой осуществляется однопороговое квантование разности между отсчётом и предсказанным значением, в качестве которого используется предшествующий отсчет (рис 12).

Структурная схема системы с дельта-модуляцией

Рисунок 12 – Структурная схема системы с дельта-модуляцией

Вместо квантователя здесь включен компаратор, который соответствует одноразрядному АЦП, а в качестве предсказателя используется интегратор. Достоинство такой системы – простота технической реализации, а недостатки наглядно видны из рис.13.

На участках быстрого изменения сигнала предсказанный сигнал “не успевает” за поступающим, поскольку не может измениться более чем на значение, соответствующее одному порядку. Такие ошибки называют перегрузкой по крутизне. Для снижения ошибок перегрузки по крутизне необходима высокая частота дискретизации, значительно превышающая частоту, вычисляемую из теоремы Котельникова, а также усложнение простейшей схемы, например применение рассмотренной ниже сигма-дельта модуляции.

Временные диаграммы системы с дельта-модуляцией

Рисунок 13 – Временные диаграммы системы с дельта-модуляцией: а – исходный сигнал x(t) (--) и предсказанный сигнал x*(t) (¾);

б – квантованный сигнал xкв(t)

На участках быстрого изменения сигнала предсказанный сигнал “не успевает” за поступающим, поскольку не может измениться более чем на значение, соответствующее одному порядку. Такие ошибки называют перегрузкой по крутизне. Для снижения ошибок перегрузки по крутизне необходима высокая частота дискретизации, значительно превышающая частоту, вычисляемую из теоремы Котельникова, а также усложнение простейшей схемы, например применение рассмотренной ниже сигма-дельта модуляции.

В последнее время всё более широко применяются АЦП и ЦАП на основе уже упоминавшейся сигма-дельта модуляции. Схема АЦП с сигма-дельта модуляцией приведена на рис 14.С другой стороны, использование одного разряда для представления ошибки приводит к специфическим особенностям кодирования и медленно меняющихся сигналов. Аппроксимирующий сигнал как бы “скачет” относительно кодируемого уровня. Возникающие в этом случае ошибки называют гранулярным шумом.

Простейший сигма-дельта модулятор

Рисунок 14 – Простейший сигма-дельта модулятор

 

Особенностью сигма-дельта модуляторов является наличие фильтра-преобразователя шума, который перемещает часть спектра шума в высокочастотную область, где шум может быть легко подавлен. При этом обычно применяется промежуточное повышение частоты дискретизации, а затем прореживание (децимация) полученного цифрового потока. Сигма-дельта модуляция применяется в современных высокоточных АЦП, например в системе “Bit Stream” фирмы Philips, в котором используется промежуточное повышение частоты дискретизации в 256 раз, а также динамическая интерполяция и микросхеме 16-разрядного АЦП MSP 430 фирмы Texas Instruments.

В заключение раздела отметим характерные значения частот дискретизации и количество двоичных разрядов для некоторых широко встречающихся в инженерной практике сигналов.

Из табл.1 следует, что звуковые сигналы требуют значительно меньших частот дискретизации, но в то же время, в связи с особенностями органов слуха человека для их кодирования необходимо существенно больше разрядов и уровней квантования.

Таблица 1 – Частоты дискретизации и количество требуемых двоичных разрядов для некоторых сигналов

Вид сигнала

Частота

дискретизации (кГц)

Число двоичных

разрядов

Речь

8

8

Сигналы цифровой

звукозаписи

44.1-48

16-24

Телевизионные сигналы

13500-17734

8

Кардиограмма

0.2-0.5

8-12

Фонокардиограмма

4-6

8-12

Проведенный в разделе 1 анализ показывает, что операции дискретизации, и квантования неизбежно вызывают неустранимые погрешности при восстановлении сигнала. Вместе с тем, правильным выбором частоты дискретизации и числа уровней квантования, как правило, можно снизить погрешности до приемлемой величины.


Оставить комментарий

  • Список наук

  • Образовательные статьи