Дискретная свёртка

Дискретная свёртка

Для всестороннего анализа дискретных систем необходимо найти соотношение, позволяющее определить реакцию системы с известной импульсной характеристикой на произвольную последовательность. Получить это соотношение проще всего, задавшись конкретными значениями. Пусть система имеет импульсную характеристику длины 4: {{h}_{i}}={{h}_{0}, {h}_{1}, {h}_{2}, {h}_{3}}, а на ее вход поступает последовательность длины 3: {{x}_{l}}={{x}_{0}, {x}_{1}, {x}_{2}}.

Далее, учитывая принцип суперпозиции, и задержку в один такт после каждого отсчета входной последовательности получим следующее соотношение 

учитывая принцип суперпозиции, получим соотношение

Распространяя выражения (2.6) на произвольное число отсчетов входной последовательности {N}_{1} и импульсной характеристики {N}_{2}, получаем

Распространяя выражения на произвольное число отсчетов входной последовательности и импульсной характеристики

При этом предполагается, что {x}_{i}=0 при 0<i<{N}_{1}, {h}_{i}=0 при 0<i<{N}_{2}-1

Уравнения (2.7), (2.8) эквивалентны друг другу и называются уравнениями линейной (апериодической) дискретной свертки, а выходная последовательность {y}_{k} длины {N}_{1} + {N}_{2}-1 называется дискретной сверткой последовательностей {x}_{i} и {h}_{l}.

Если система обладает бесконечной импульсной характеристикой, то уравнение свертки записывается в виде

уравнение свертки

Во многих случаях приходится иметь дело с периодическими последовательностями. Таковы последовательности, получаемые дискретизацией сигналов, снимаемых с вращающихся агрегатов, биомедицинских сигналов (электрокардиограмма, спирограмма и т.д.). В случаях, когда последовательность непериодична по своей природе, она, как правило, наблюдается на конечном интервале длительностью N отсчетов и может быть периодически продолжена за пределами этого интервала. Легко показать, что, когда последовательности  {h}_{l} и {x}_{i} периодичны с периодом N каждая, выходная последовательность также имеет период N и определяется уравнением круговой (периодической, циклической) свертки.

круговая (периодическая, циклическая) свертка

В    силу   периодичности   последовательностей   предполагается,  что {x}_{-1}={x}_{N-1}, {x}_{-2}={x}_{N-2}, {x}_{-3}={x}_{N-3} и т.д. Аналогичные соотношения справедливы и для последовательности {h}_{i}. Уравнения (2.10), (2.11) распространимы и на конечные последовательности {h}_{i} и {x}_{l}, если рассматривать их как один период соответствующих им периодических последовательностей. Если последовательности {h}_{i} и {x}_{l} имеют разное число отсчетов, то более длинную последовательность усекают до длины меньшей или (более часто) короткую дополняют нулями до большей длины.

Отметим связь между линейной и круговой сверткой. Пусть последовательность x_{i}^{'} имеет длину {N}_{1}, последовательность  {h}_{l}  – длину  {N}_{2} . Дополним последовательности  {x}_{i}   и  {h}_{l}   нулями до длины {N}_{1}+{N}_{2}-1. Получим последовательности x_{i}^{'} и h_{l}^{'}, обе длиной {N}_{1}+{N}_{2}-1. Тогда линейная свертка последовательностей h_{l}^{'} и x_{i}^{'} будет равна ({N}_{1}+{N}_{2}-1) – точечной круговой свертке последовательностей x_{i}^{'} и h_{l}^{'}.

2 12

Таким образом, линейная свертка может быть вычислена через круговую. С первого взгляда этот результат не представляется практически важным, однако, в дальнейшем будут получены эффективные алгоритмы циклической свертки, требующие уменьшенного числа арифметических операций. Используя эти алгоритмы, можно разрабатывать аппаратуру или программы для микроЭВМ, выдающие на выходе последовательность - результат свертки входной последовательности  и импульсной характеристики  и, таким образом, реализующие дискретные линейные системы с заданными свойствами.


Оставить комментарий

  • Список наук

  • Образовательные статьи