Дискретизация сигналов по времени

Дискретизация сигналов по времени

При дискретизации по времени на основе непрерывного сигнала x(t) строится дискретный сигнал x(i {T}_{d}). По отсчетам x(i {T}_{d}) можно восстановить исходный аналоговый сигнал с заданной точностью, то есть от дискретного сигнала x(i {T}_{d}) перейти к воспроизводящей функции x'(t). Воспроизводящая функция x'(t) обычно строится как взвешенная сумма некоторого ряда базис-ных функций {\varphi}_{i}(t)
Воспроизводящая функция(1.3)

Точность восстановления \varepsilon(t)=x(t)-x'(t) зависит от интервала дискретизации Тд и выбранного метода восстановления. При малых величинах Тд количест-во отсчетов на заданном отрезке и, следовательно, трудоемкость обработки увеличивается, но в то же время повышается точность восстановления.
В качестве базисных наиболее часто используются полиномиальные функции различных степеней. Как правило, увеличение степени полинома влечет за собой повышение точности.

Для класса сигналов с ограниченным спектром восстановление сигнала наиболее эффективно осуществляется на основе теоремы В.А.Котельникова. Теорема Котельникова гласит: если аналоговый сигнал x(t) имеет спектр, ограниченный верхней граничной частотой fmax, то сигнал может быть однозначно восстановлен по последовательности дискретных отсчетов x(iTд), взятых через интервалы времени Tд=1/(2{f}_{max}) Отметим, что в зарубежной литературе частота fд=2{f}_{max} часто называется частотой Найквиста.

Восстановление сигнала производится в соответствии с выражением

ряд Котельникова(1.4)

которое называется рядом Котельникова. Базисными функциями в данном случае служат функции отсчетов

функции отсчетов(1.5)

В соответствии с (1.4) непрерывный сигнал восстанавливается, если на вход идеального фильтра нижних частот с полосой пропускания 0...fmax подать последовательность \delta-функций \delta(t-iTд), умноженных на значения  x(iTд). Однако, ни сигнал в виде \delta-функции, ни идеальный фильтр нижних частот физически не реализуемы. Поэтому на практике вместо  \delta-функций используют короткие импульсы, а вместо идеального фильтра – реально реализуемый фильтр нижних частот, что, естественно, приводит к погрешности восстановления. Кроме того, все реальные сигналы конечны во времени и имеют неограниченный по частоте спектр, что также увеличивает погрешность восстановления.

Тем не менее, теорема Котельникова имеет большое практическое значение при выборе частоты дискретизации. Обычно ее определяют по приближенной формуле

 {f}_{d}\approx\lambda*2{f}_{max} (1.6)

где \lambda – коэффициент, зависящий от заданной точности и метода восстановления и лежащий, как правило, в пределах 1.25...2.5, а иногда и больше.

На практике помимо функций отсчетов в качестве базисных функций часто используются полиномы нулевой и первой степени. При ступенчатой интерполяции (полиномом нулевого порядка) (рис.1.2а) используется один отсчет. Восстановленная функция определяется как x'(t) = x(iTд), iTд t (i+1) Tд. При линейной интерполяции (полиномом первого порядка) (рис.1.2б) используются два смежных отсчета.

полином первого порядка

Для указанных методов исследованиями установлена связь между частотой дискретизации и погрешностью восстановления.

Так, для сигнала с прямо угольной спектральной плотностью мощностью, ограниченной частотой {f}_{max} отношение {f}_{d}/2{f}_{max} равно \pi/6\varepsilon при ступенчатой интерполяции и \pi/\sqrt[4]{600{\varepsilon}^{2}} при линейной], где  \varepsilon - относительная среднеквадратичная  погрешность. Так  при \varepsilon = 0.05 частота дискретизации должна превышать частоту Котельникова - Найквиста в 10.47 раз при ступенчатой интерполяции и в 2.84 раза при линейной. При \varepsilon = 0.01 превышение должно составлять соответственно 52.36 и 6.35 раз.

Восстановление сигналов методом ступенчатой (а) и линейной (б) интерполяции

Рисунок  - Восстановление сигналов методом ступенчатой (а) и линейной (б) интерполяции

Представляет интерес также вычисление спектра дискретного сигнала. Если сигнал x(t) заменяется набором равноотстоящих дискретных отсчетов x(iTд), соотношения для прямого и обратного преобразования Фурье приобретают вид

преобразования Фурье

Выполнив ряд операций, можно связать спектры непрерывного xн(j) и дискретного xд(j) сигналов.

спектры непрерывного и дискретного сигналов

Из этой формулы видно, что спектр дискретной последовательности имеет периодический характер и состоит из суммы бесконечного числа спектральных компонент непрерывного сигнала. Если спектр непрерывного сигнала ограничен по полосе частотой \left|\omega\right|\leq \pi /{{T}_{d}}_{}, то в этом диапазоне спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром непрерывного сигнала (рис а, б).

Таким образом, после прохождения дискретизованного сигнала x(iTд) через фильтр нижних частот, с частотой среза \pi/Tд (характеристика Нф(\omega) на рис.1.4) повторяющиеся реплики в спектре будут подавлены, а сигнал на выходе такого фильтра будет с точностью до постоянного множителя совпадать с исходным аналоговым сигналом x(t), что подтверждает справедливость выводов Котельникова. Если же Xн(j) не ограничен диапазоном       \omega/Tд, то соотношение между спектрами оказывается более сложным ввиду наложения спектров (рис.1.4). В полосу пропускания фильтра Нф(\omega) будет попадать часть энергии от лепестков-реплик, и сигнал на выходе фильтра будет отличаться от исходного аналогового сигнала . Наложения можно избежать, повышая частоту дискретизации.

 


Оставить комментарий

  • Список наук

  • Образовательные статьи