Частотные характеристики дискретных систем

Частотные характеристики дискретных систем

В предыдущих разделах было показано, что дискретная линейная система  может быть описана при помощи импульсной характеристики. Однако во  многих случаях  более эффективным для анализа и синтеза системы оказывается рассмотрение ее реакции на функцию вида (2.2)

функцию 2 2

 

где  \omega  круговая частота,  j  – мнимая единица.

Покажем, чем обусловлен интерес к этому классу последовательностей. Если последовательность (2.13) поступает на  вход линейной дискретной системы  с импульсной характеристикой {h}_{i}, то в соответствии с (2.9)

2 14

 

Таким образом, выходная последовательность {y}_{k} равна входной {x}_{i} умноженной на постоянный для данного значения комплексный множитель H({e}^{j\omega}) или H(j\omega). Говорят, что последовательности {e}^{j\omega i} составляют класс собственных функций для дискретных линейных систем.

Поскольку последовательность {e}^{j\omega i} соответствует дискретизованной гармонике частоты , то комплексный множитель H(j) называется  частотной характеристикой (ЧХ)  системы и выражается через импульсную характеристику следующим образом

2 15

 

Если система обладает конечной  импульсной характеристикой  длины N, то (2.15) записывается  в виде

2 16

Поскольку отсчеты функции  (2.13) – комплексные числа то и функция H({e}^{j\omega}) будет комплексной

2 17

 

или через амплитуду и фазу

2 18-19

амплитудно - частотная характеристика (АЧХ),

2 20

фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Отметим некоторые свойства частотных характеристик. Поскольку комплексная экспонента периодична с периодом 2\pi, то и частотная характеристика является периодической функцией, и для полного описания достаточно задать ее на интервале 0\leq \omega \leq 2\pi. Другим важным свойством частотной характеристики является то, что, как следует из (2.15), для действительных  значений {h}_{i} действительная часть ЧХ {H}_{R}(\omega ) симметрична,  а  мнимая {H}_{I}(\omega ) антисимметрична на интервале 0<i> </i> < 2, то есть {H}_{R}(\omega )={H}_{R}(2\pi -\omega), а {H}_{I}(\omega)={H}_{I}(2\pi -\omega). Аналогично АЧХ – симметричная функция, а ФЧХ – антисимметричная на том же интервале. Поэтому при действительных импульсных характеристиках интервал частот, на котором задают частотную характеристику, обычно сокращают до 0\leq \omega \leq \pi . Заметим, что часто учитывают соотношение \omega = 2\pi f и рассматривают характеристику {H}_{f}, определяемую на интервале 0\leq f\leq 0.5.

Поскольку частотная характеристика дискретной системы  является периодической функцией частоты \omega, равенство (2.15) можно рассматривать

как разложение H(j\omega ) в ряд Фурье. При этом отсчеты {h}_{i} являются коэффициентами разложения H(j\omega ) и могут быть выражены как

2 21

а равенства (2.15) и (2.21) представляют собой пару преобразований Фурье, которыми и связаны между собой частотная и импульсная характеристика.

Эти преобразования можно распространить на произвольную входную последовательность {x}_{i} и записать выражения

2 22-23

Показано, что если последовательность {x}_{i} подать на вход дискретной системы с импульсной характеристикой {h}_{j}, то частотная характеристика выходного сигнала {y}_{k} будет иметь вид

2 24

Это соотношение играет очень важную роль в теории линейных систем: оно показывает, что поведение системы можно описывать также на основе частотной характеристики. Выходную последовательность системы можно получить, вычислив сначала преобразование Фурье от входной последовательности, умножив его на частотную характеристику системы и взяв обратное преобразование Фурье.

Отметим, что в выражениях (2.13) – (2.24) мы рассматривали безразмерную круговую частоту \omega. На практике же часто возникает необходимость выразить частотные характеристики в единицах частоты, связанных с интервалом дискретизации {T}_{D} или частотой дискретизации {f}_{D}. Последовательность {h}_{i} может быть в этом случае представлена в виде h(i{T}_{D}), а (2.15) преобразуется к виду

 

2 25

где {\omega}_{p} - реальная круговая частота, выражаемая в радианах в секунду.

2 26

Аналогично можно получить выражение для реальной частоты, выраженной в герцах

2 27

Если, например, частота дискретизации fд = 1кГц, а безразмерная частота \omega = \pi /3, то эта точка соответствует реальной круговой частоте 1000 3 рад /с, то есть частоте  500 / 3 = 166.7 Гц. Таким образом, в дальнейшем все частотные характеристики будем строить в интервале 0\leq \omega \leq \pi или

0\leq f \leq 0.5  и иметь в виду, что \omega и f – безразмерные частоты, получаемые путем деления соответствующих реальных частот на частоту квантования. Заметим,  кстати,   что  частота   f = 0.5,  соответствующая  реальной  частоте {f}_{p}=0.5 {f}_{D},  определяет гармонику максимально высокой частоты, которая по теореме Котельникова может присутствовать в исходном сигнале, а рассмотрение интервала f>0.5 не имеет смысла.


Оставить комментарий

  • Список наук

  • Образовательные статьи